lunes, 28 de diciembre de 2015

Empate a 1515: ¿cuál es la probabilidad?



Ayer tuvo lugar la peculiar votación de la asamblea de la CUP (partido político catalán) para decidir si apoyaban, o no, la elección de Mas como presidente del gobierno autonómico de Cataluña.  Tras varias votaciones previas, todas muy próximas al empate,   la última arrojó un empate a 1515.   En esta entrada voy a hablar de cuál es la probabilidad de que algo así ocurra.

En primer lugar, voy a suponer que el voto de cada  miembro de la asamblea era como tirar una moneda al aire, y  voy a suponer que es la misma moneda para todos los votantes.  La moneda puede salir "cara" con probabilidad p, y "cruz" con probabilidad 1-p.  La probabilidad de obtener "k" veces cara,  tirando la moneda al aire "n" veces viene dada por la fórmula binomial:



 Como las votaciones previas estaban muy igualadas,  es razonable suponer que la probabilidad de que cada votante de la asamblea votase una de las dos opciones era 50%, o sea, p=0.5.  El número de votos emitidos (descontando nulos y en blanco) fue n=3030.    Por tanto la probabilidad en cuestión es:


Este número resulta ser aproximadamente igual a 0.0145, o sea, una probabilidad del 1.45  por ciento.  Para hacernos a la idea,  esta probabilidad es muy parecida a la que hay de tirar una moneda a cara o cruz 20 veces, y que salga 15 veces cara.  Dado que la probabilidad de que un décimo sea premiado con el gordo en el sorteo de Navidad es una entre cien mil, el resultado de la votación de la CUP es 1450 veces más probable.

Por último,  nos podemos preguntar como cambiaría este número si aumentamos el número de participantes en la votación.  Siguiendo el razonamiento anterior, y usando la aproximación normal,  la probabilidad de que haya un empate en un referendum con N votantes  es:

Así, si algún día se llega a celebrar un referendum en Cataluña,  y votasen 4 millones de personas, la probabilidad de que haya un empate sería de 28 entre un millón.

En fin, que todo este embrollo nos sirva al menos para aprender un poco de matemáticas.







sábado, 26 de diciembre de 2015

Los empujones de la nada (o el efecto Casimir explicado a mis padres)



En esta entrada voy a hablar de un efecto cuántico fascinante, el efecto Casimir,  por el cuál dos cuerpos sienten una atracción cuya causa última son las fluctuaciones cuánticas de la energía del vacío,  o para decirlo de forma más coloquial, de la nada. No huyáis todavía, voy a  intentar explicar todo esto para que lo entienda cualquiera.  En primer lugar, recordemos qué es una fuerza: si alguien te pega un empujón, ejerce una fuerza sobre ti.   La tierra ejerce una fuerza sobre todos nosotros, que nos mantiene pegados al suelo. También atrae a la luna, que está prisionera orbitando alrededor de la tierra.  A su vez, el sol atrae a la tierra y la luna.  Los imanes ejercen fuerzas sobre otros imanes, que pueden ser de atracción o repulsión.  Todas estas fuerzas "empujan" que a otros objetos a moverse están causadas por un objeto físico: la persona que te empuja, la tierra, un imán.

Ahora el misterio: ¿puede el la nada ser el origen de algún tipo de fuerza?.  ¿Puede la nada  "empujar"?.    En física clásica la nada, o el vacío, no puede ser causa de ninguna fuerza. Las fuerzas son generadas por masas, cargas, imanes y la nada es, por definición, la ausencia de algo, en particular, la ausencia de masas, cargas e imanes.   Poniéndonos casi filosóficos,  ¿cómo podría la nada hacer algo?.   La teoría cuántica nos dice que si. Para entenderlo  hay que introducir aquí la relación entre fuerza y energía, o más precisamente, entre fuerza y variación de energía.   Todos tenemos la intuición de que una caída desde 4 metros es mucho peor que desde 2 metros.  Cuánto más alta es una montaña rusa, más miedo nos da subirnos en ella. Cuando estamos en lo alto de la montaña rusa,   tenemos una "energía potencial" que al iniciar la caída se convertirá en "energía cinética":   perderemos altura y ganaremos velocidad. Podemos así relacionar la fuerza de atracción de la tierra sobre nosotros con la variación  de la energía potencial al perder  altura.  Lo mismo es verdad para casi todas las fuerzas,  que siempre se pueden asociar a la variación de algún tipo de energía con respecto a algún parámetro, más específicamente a la disminución de la energía con un parámetro.

Volvamos a la nada: ¿puede la nada almacenar energía?.   O más concretamente: ¿es posible que un sistema esté desprovisto completamente de energía?. En la teoría clásica esto es así. Pensemos en un péndulo, en el punto de equilibrio y con velocidad cero.  En tal situación, si no actuamos sobre él, el péndulo permanecerá en reposo indefinidamente.  En cambio, el principio de incertidumbre de Heisenberg de la teoría cuántica nos dice que si conocemos con precisión la posición de un objeto, automáticamente desconocemos su velocidad, y viceversa.  Por tanto, si el sabemos que el péndulo está en reposo (velocidad cero),  automáticamente el péndulo deja de estar en la posición de equilibrio, con lo que  que siente  fuerzas, o dicho de otra forma, explora zonas en las que  energía potencial no es constante.   Por lo tanto, en mecánica cuántica un péndulo no puede tener una energía nula, y tiene siempre al menos una cantidad mínima de energía que se conoce como "energía de punto cero". Esta propiedad es extensible a cualquier sistema cuántico

La nada es la ausencia de materia, y también la ausencia de ondas  electromagnéticas, como la radio o la luz, que viajan por el vacío, y transportan energía.  Es conveniente  pensar en las ondas electromagnéticas como la "ola" que hace la gente  en un estadio de fútbol, que es el fruto de la acción conjunta de elementos mecánicos individuales, las personas del estadio.   La energía de la "ola" tiene que ver con el movimiento de cada persona en el estadio. En un sentido matemático, lo mismo ocurre con las ondas electromagnéticas: podemos decir que su energía se almacena en unos entes individuales, llamados "modos" o "fotones".

 Y ya casi estamos:  en física clásica sería perfectamente posible que cada "modo electromagnético" estuviera totalmente desprovisto de energía. En cambio, en física cuántica, cada "modo electromagnético" tiene una energía mínima.   Así, la primera consecuencia de esto es que incluso "la nada" o el vacío tiene energía, debido a las "fluctuaciones cuánticas" del principio de Heisenberg.  De hecho, la cantidad de energía almacenada en el vacío es literalmente infinita.   Esto suena a posible negocio, pero hay un problema: las fuerzas  que mueven el mundo vienen proporcionadas por la variación en la energía con respecto a algún parámetro, y esta energía infinita asociada al punto cero es inmutable... o casi.

Y es aquí cuando viene el efecto Casimir, el físico holandés  que en 1948, trabajando para el laboratorio de investigación de la empresa Philips en Eindhoven,  propuso el efecto que lleva su nombre.    Así como en un estadio el doble de grande cabe el doble de gente, y la ola estaría asociada al doble de personas,  el número de "modos" o "fotones" en los que se almacena la energía electromagnética también aumenta con el tamaño de la región del espacio que consideramos.   Imaginemos dos espejos dispuestos de forma paralela, a una distancia que llamaremos L.   Los espejos reflejan la luz, y por tanto confinan "los modos" electromagnéticos en la región comprendida entre ellos.  Pensemos que ocurre si acercamos los espejos:  disminuye  el número de modos electromagnéticos, y por tanto, la energía del vacío.  Por tanto,  como las fuerzas son proporcionales a la disminución de la energía,  habrá una fuerza que promueva este cambio.  Dicho de otra forma,  los espejos se atraen por culpa de la variación de la energía cuántica de punto cero de los modos electromagnéticos.

¿Cuál es la magnitud de esta fuerza?. Depende de la distancia entre los espejos.  Así, mientras que que la atracción gravitatoria escala con el inverso del cuadrado de la distancia,  la fuerza de Casimir escala con el inverso de la cuarta potencia de la distancia.  Si duplicamos la distancia entre dos cuerpos, su interacción gravitatoria es 4 veces más pequeña, y la interacción de Casimir es 16 veces más pequeña.  Tratándose de la fuerza originada por la energía cuántica de punto cero de "la nada", cabría esperar que  la fuerza de Casimir sea indetectable, pero no es así.  Dado que su magnitud aumenta a distancias pequeñas, la fuerza de Casimir resulta ser un dolor de cabeza para la gente que diseña "nanomáquinas", con elementos separados a distancias muy pequeñas.

Termino esta entrada con un poco de autobombo. Trabajando con unos colegas (y amigos) de Chile, hemos descubierto que las ideas de  Casimir se puede extender a sistemas magnéticos no colineales, en particular a unos bichitos con un nombre digno de serie de ciencia ficción, los "skyrmions". Pero esta historia la tendré que contar en otra entrada.


sábado, 12 de diciembre de 2015

Lotería y la teoría del caos.

Nuestro sentido común, desarrollado gracias a la experiencia cotidiana ,  nos indica que si metemos 100 mil bolitas en un bombo giratorio, y las extraemos  por un orificio situado en la parte inferior,  es imposible predecir la secuencia de salida de las bolas.  Por tanto, este sistema parece un  método adecuado para producir números al azar, o aleatorios.  Esta es la base empírica para el método empleado en el sorteo de la lotería de Navidad, y  aquellos que no han estudiado las leyes del movimiento de  Newton  no podrían sospechar la bella sutileza que me dispongo a exponer a continuación. 

La teoría del movimiento de Newton funciona maravillosamente bien para describir el movimiento de cualquier cosa que no sea demasiado pequeña para estar afectada por efectos cuánticos y que no se mueva demasiado deprisa como para estar afectada por correcciones relativistas. Esto incluye los planetas en el cielo, cualquier objeto que tenga más de 1000 átomos,y ciertamente las bolas del bombo de la lotería. 

Una característica importante de las leyes de Newton es que, dadas la posición y velocidad inicial de uno o varios objetos, y las fuerzas a las que están sometidos,  la trayectoria que ejecutarán queda completamente determinada.  El cálculo de dicha trayectoria suele ser una tarea complicada que requiere el uso de ordenadores, excepto en unas 10 o 20 situaciones, como el movimiento de los planetas,  la caída de los objetos, la rotación de una peonza, el movimiento de un péndulo, así hasta llenar los libros de mecánica que estudian físicos e ingenieros.  Pero aunque a menudo no sea posible calcular la trayectoria de los objetos,  incluso con ordenadores, la teoría del movimiento de Newton  establece que  dicha trayectoria queda determinada por la posición y velocidad inicial.  Esta propiedad se denomina determinismo.  

Esto llevó a Laplace (1749-1827)  a plantear una pregunta inquietante: si el movimiento de todas las partículas del universo está gobernado por las leyes de Newton,  un ser que conociese su posición y velocidad en un instante dado podría predecir el futuro.  Incluso si ese futuro no fuese calculable, estaría totalmente determinado, lo cuál conduce a otras preguntas inquietantes al respecto de nuestra voluntad y nuestra libertad.   Una interpretación ingenua de la teoría de Newton diría que somos autómatas gobernados por las leyes de la mecánica, sin ninguna capacidad de decidir entre dos alternativas. Nuestra historia estaría escrita, y la del sorteo de lotería, también. 

La solución a este preocupante dilema, que nos obligaba bien a  admitir que somos autómatas ejecutando los dictados de las leyes de la mecánica  o a buscar un fallo en la teoría de Newton, se encontró en la década de los 60, al descubrirse el fenómeno que se dio en llamar "caos", una palabra que en su salto  al vocabulario del gran público ha perdido parte de su significado original.   En el contexto de las ecuaciones del movimiento de un sistema,  el caos se manifiesta como un cambio grande en la trayectoria del sistema originado por un cambio arbitrariamente pequeño de las condiciones iniciales.  Así, aunque un sistema "caótico"  sea determinista, en la práctica resulta imposible predecir su comportamiento, debido a que variaciones minúsculas en las condiciones iniciales    dan lugar a cambios enormes en la evolución posterior. 




Cuando año tras año se repite el procedimiento para depositar las 100 mil bolas de sorteo de Navidad, cada una con su número por un lado, y las centenares de bolas con los premios en el otro bombo, el determinismo de Newton y Laplace   nos llevaría  a predecir que el resultado del sorteo sería  el mismo todos los años:  las bolas están inicialmente ensartadas, de manera ordenada, en unas varillas. Éstas se colocan encima de los dos bombos, en un procedimiento que se repite igual cada año, y se dejan caer.   Es posiblemente en este momento donde pequeñas variaciones en la altura y ubicación de las varillas con respecto a los bombos donde se introducen pequeños en la posición de las bolas que terminan produciendo un resultado diferente en cada sorteo.  También es casi seguro que el número de vueltas del bombo, y su velocidad de rotación, es también diferente cada año.

Lo que es casi seguro es que, incluso si pudiéramos conocer con exactitud todos estos detalles,  sería imposible hacer una simulación con un ordenador de la dinámica de las bolitas  del sorteo de la lotería, y anticipar el resultado.    Puede que sea una mala noticia para aquellos que estuvieran pensando en hacerse millonarios haciendo una simulación, pero es una buena noticia para los que queremos pensar que no somos robots que seguimos los dictados de la mecánica de Newton y la sensación de libertad es algo más que un autoengaño.